고등수학 대수1 수열단원 58번 문제풀이 부탁드려요 답이 나오지않아 풀이 질문드립니다
제시된 수열의 귀납적 정의를 이용해 a₃ + a₄ = 3을 만족하는 모든 a₁의 값을 구하는 과정입니다.
1. 조건 분석 및 a₃, a₄의 관계
수열의 정의는 다음과 같습니다.
aₙ이 홀수일 때: aₙ₊₁ = 2ªⁿ
aₙ이 짝수일 때: aₙ₊₁ = (1/2)aₙ
a₃ + a₄ = 3을 만족하는 자연수 순서쌍 (a₃, a₄)는 (1, 2)와 (2, 1) 두 가지 경우뿐입니다.
2. 경우의 수 확인
경우 1: a₃ = 1, a₄ = 2인 경우
a₃ = 1(홀수)이면 a₄ = 2¹ = 2가 되어 성립합니다.
경우 2: a₃ = 2, a₄ = 1인 경우
a₃ = 2(짝수)이면 a₄ = (1/2) × 2 = 1이 되어 성립합니다.
결과적으로 a₃는 1 또는 2여야 합니다.
3. 역추적을 통한 a₁ 구하기
이제 a₃로부터 a₂를 거쳐 a₁을 역추적합니다.
(1) a₃ = 1인 경우
a₂ → a₃ = 1
a₂가 홀수일 때: 2^(a₂) = 1 → a₂ = 0 (자연수가 아니므로 탈락)
a₂가 짝수일 때: (1/2)a₂ = 1 → a₂ = 2
a₁ → a₂ = 2
a₁이 홀수일 때: 2^(a₁) = 2 → a₁ = 1
a₁이 짝수일 때: (1/2)a₁ = 2 → a₁ = 4
(2) a₃ = 2인 경우
a₂ → a₃ = 2
a₂가 홀수일 때: 2^(a₂) = 2 → a₂ = 1
a₂가 짝수일 때: (1/2)a₂ = 2 → a₂ = 4
a₂ = 1일 때 a₁ 추적 (위의 (1)번 과정과 동일)
a₁ = 2 (a₂가 1이 되려면 a₁은 2여야 함)
a₂ = 4일 때 a₁ 추적
a₁이 홀수일 때: 2^(a₁) = 4 → a₁ = 2 (2는 홀수가 아니므로 탈락)
a₁이 짝수일 때: (1/2)a₁ = 4 → a₁ = 8
4. 최종 결과
구해진 모든 a₁의 값은 다음과 같습니다.
a₃ = 1에서 파생: 1, 4
a₃ = 2에서 파생: 2, 8
따라서 모든 a₁의 값의 합은 다음과 같습니다.
1 + 4 + 2 + 8 = 15
풀이 요약
핵심 관찰: 모든 항이 자연수이므로 a₃ + a₄ = 3 을 만족하는 경우는 딱 두 가지:
| 경우 | a_3 | a_4 |
| A | 1 (홀수) | 2¹ = 2 ✓ |
| B | 2 (짝수) | 1/2 × 2 = 1 ✓ |
역추적으로 a₁ 구하기:
∴합=1+2+4+8=15
