f와 g가 무슨 관계기에 저런 문제가 나오지? 하고 봤는데
계수 흐름이 f는 1, 5, -2, -27, -27 이고
g는 1, 5, -2 입니다.
즉, f(x) = x²g(x) - 27x - 27입니다.
f(x) + 27x + 27 = x²g(x)
g(x) = {f(x) + 27(x+1)}/x² 입니다.
※ f(x)의 상수항이 -27이므로 f(0)≠0 이고 알파, 베타, 감마, 델타 중 0은 없습니다.
표기 편의상 알파~델타를 a,b,c,d라고 적으면
근과 계수의 관계상
a+b+c+d = -5
ab+bc+cd+da+ac+bd = -2
abc+bcd+cda+dab = 27
abcd = -27
이고 f(a) = f(b) = f(c) = f(d) = 0이므로
g(a) = {0 + 27(a+1)}/a² = 27(a+1)/a²
g(b) = 27(b+1)/b²
g(c) = 27(c+1)/c²
g(d) = 27(d+1)/d²
즉, g(a)g(b)g(c)g(d) = 27×27×27×27×(a+1)(b+1)(c+1)(d+1) / (abcd)² 이 됩니다.
여기서 (a+1)(b+1)(c+1)(d+1)을 구할때 전개해서 근과 계수의 관계 대입해도 되는데
f(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)이므로
f(-1) = (-1-a)(-1-b)(-1-c)(-1-d)
1-5-2+27-27 = (1+a)(1+b)(1+c)(1+d)
(a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = f(-1) = -6 으로 구할 수 있습니다.
따라서 g(a)g(b)g(c)g(d) = 27×27×27×27×(-6) / (-27)²
= 27×27×(-6)
= 27×(-162)
k = -162
③